1 引 言

材料在不同应变率下有不同的力学响应，已经是无人质疑的公认事实[1]。然而，如何针对不同情况研究计及应变率效应的材料动态本构关系，则仍然是一个富有挑战性的课题，这是因为应变率效应和应力波效应常常互相影响和互相联系在一起。在研究爆炸/冲击载荷条件下的应变率效应时，常常离不开应力波分析，而应力波分析又以已知材料动态本构关系为前提。

为解决这一“狗咬尾巴”的难题，迄今人们采取的办法大致可以归为两类：分离式Hopkinson杆(SHPB)类型的实验，以及由波传播信息反演材料动态本构关系的实验(简称波传播反演法)。SHPB技术巧妙地把应力波效应和应变率效应解耦，对于弹性压杆允许忽略应变率效应而只计及应力波之传播，而对于短试件，只要在可忽略的时间内实现应力分布均匀化，就允许忽略试件中的应力波效应，而只计其应变率效应。然而SHPB技术以满足两个基本假定为前提，即一维应力波假定和沿试件长度应力均匀分布假定。对于具有一定尺度微结构的工程材料，如岩石、混凝土和泡沫材料等，由于宏观实验的试件尺寸要求比微结构(如混凝土的骨料等)尺寸至少高一个量级，传统SHPB技术的应用受到了限制[2]。这时，人们转而求助于波传播反演法。特别是人们开始探索如何通过球面波实验来反演材料动态本构关系[3]，发挥球面波实验的试件可以远大于试件微结构尺寸的优越性。目前，如何由球面波实测数据确定材料黏弹性本构关系尚是一个有待解决的挑战性问题。本研究旨在探索由球面波实验测得的一系列质点速度波形来反演材料动态黏弹性本构特性的新方法。

2 反演法的黏弹性球面波原理

在物质坐标的球坐标r、θ、φ 中(参看图1)，基于ZWT线性黏弹性本构方程[4]，可建立体现高应变率效应的线性黏弹性球面波的控制方程组[5]，包含连续方程

动量守恒方程

和球对称条件下的ZWT线性黏弹性本构方程(设体积无黏性)

式中：质点速度v以r正向为正，径向应力σr和应变εr、环向应力σθ= σφ与应变εθ= εφ均以拉为正；ρ0为密度，弹性体积模量K=E/3(1-2ν)，ν为泊松比，杨氏模量E= Ea + EM，剪切模量G = Ga + GM，Ga=Ea/2(1+ν)，GM=EM/2(1+ν)，此处Ea为等效线弹性单元的弹性常数(纯弹性常数E0和低频Maxwell单元的弹性常数E1之和)，EM和θM 则分别是高频Maxwell单元的弹性常数和松弛时间(参看图2)。

图1 球坐标r、θ、φ中的微元体Fig.1 An infinitesimal element in spherical coordinates

图2 ZWT线性黏弹性本构模型Fig.2 Constitutive model of ZWT visco-elastic model

上述控制方程组包含5个偏微分方程，解5个未知量v、σr、σθ、εr和εθ。当采用特征线法解上述双曲型偏微分方程组时，问题转化为解相应的常微分方程组。这时，问题归结为解如下三族常微分特征线方程和沿相应特征线的五族特征相容关系。第一、第二族特征线为

式中:CL为沿特征线波速，即弹性波的膨胀波(或一维应变纵波)波速。而相应的两族沿特征线的相容关系为

此处正号和负号分别对应于右行波和左行波。第三族特征线为

相应的沿该特征线的三族特征相容关系为

对于具有陡峭波阵面(强间断波阵面)的黏弹性球面波，根据强间断面上位移连续条件和动量守恒条件，注意到位移u连续时εθ也必连续(对于球面波有[6]εθ (r,t)=εφ(r,t)=u(r,t)/r)，则由强间断平面波导出的强间断面上的运动学相容条件和动力学相容条件[6]对于球面波仍然成立，即对于垂直于球面波波阵面方向的质点速度v、径向应力分量σr和径向应变分量εr，其间断突跃值(以[ ]表示)之间有如下的相容性关系

此处负号和正号分别对应于右行波和左行波，并且在我们目前所讨论的黏弹性球面波情况下，强间断黏弹性波阵面的波速Cf=CL((6)式)。

设初始条件和边界条件为

这时，对于右行波，(12)式和(13)式化为

考虑到强间断面上应满足位移连续条件u=0，即有

再注意到跨过强间断黏弹性波阵面的力学响应(应变率趋于无穷大)只能是瞬态弹性响应，(4)式和(5)式分别简化为弹性球面波的弹性体变律和弹性畸变率(相当于θM趋于无穷大)，由(4)式和(5)式可知，沿强间断面应有

另一方面跨过强间断面又是特征线，即沿右行波还应满足(7)式

由(15)式～(18)式消去v、εr、εθ和σθ，经过整理可得

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